Question

已知f（x）=ax+lnx，x∈（0，e]，，其中e=2.71828…是自然对数的底数，a∈R．
（1）若a=-1，求f（x）的极值；
（2）求证：在（1）的条件下，；
（3）是否存在实数a，使f（x）的最大值是-3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）求出函数导函数，求出导函数的符号，判断出函数的单调性，求出函数的极值．
（2）构造函数h（x），通过导数，求出导函数的符号，求出h（x）的单调性，求出h（x）的最小值，得到要证的不等式．
（3）求出导函数，通过对a与区间的讨论，求出函数的单调性，求出函数的最大值，令最大值为-3，列出方程求出a的值．
【解析】
（1）∵f（x）=-x+lnx，
f´（x）=-1+=，
∴当1＜x＜e时，f´（x）＜0，此时f（x）单调递减，当0＜x＜1时，f´（x）＞0，此时f（x） 单调递增，
∴f（x）的极大值为f（1）=-1．
（2）∵f（x）的极大值即f（x）在（0，e]上的最大值为-1
令h（x）=，
∴，
∴当0＜x＜e时，h´（x）＜0，且h（x）在x=e处连续
∴h（x）在（0，e]上单调递减，
∴h（x）min=h（e）=＞-1=f（x）max
∴当x∈（0，e]时，
（3）假设存在实数a，使f（x）=ax+lnx有最大值-3，x∈（0，e]，
f´（x）=，
①当a≥时，由于x∈（0，e]，则f´（x）=≥0且f（x） 在x=e处连续
∴函数f（x）=ax+lnx是（0，e]上的增函数，
∴f（x）max=f（e）=ae+1=-3，解得（舍去）．
②当a＜时，
则当-＜x＜e时，f´（x）=＜0，此时f（x）=ax+lnx 是减函数，
当时，f´（x）=＞0此时f（x）=f（x）=ax+lnx 是增函数，
∴f（x）max=f（-）=-1+ln（）=-3，解得a=-e2．
由①、②知，存在实数a=-e2，使得当x∈（0，e]，时f（x）有最大值-3．