Question

设函数f（x）=-x³+x²+（m²-1）x（x∈R），其中m＞0．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer

（1）由已知中函数f（x）=-x3+x2+（m2-1）x，根据m=1，我们易求出f（1）及f′（1）的值，代入点斜式方程即可得到答案．
（2）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数的零点，根据m＞0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数的单调区间．
【解析】
（1）当m=1时，f（x）=-x3+x2，f′（x）=-x2+2x，故f′（1）=1．
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．
（2）f′（x）=-x2+2x+m2-1．
令f′（x）=0，解得x=1-m，或x=1+m．
因为m＞0，所以1+m＞1-m．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，1-m） 1-m （1-m，1+m） 1+m （1+m，+∞）
f′（x） - + -
f（x） 递增 极小值 递增 极大值 递减

所以f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1-m，1+m）内是增函数．