Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BB₁⊥底面ABC，D为棱AC的中点，E为棱A₁C₁的中点，且AB=BC=BB₁=1．
（1）求证：CE∥平面BA₁D．
（2）求二面角A₁-BD-C的余弦值．
（3）棱CC₁上是否存在一点P，使PD⊥平面A₁BD，若存在，试确定P点位置，若不存在，请说明理由．

Answer

方法一：（几何法）（1）由已知中E、D分别是A1C1和AC的中点，根据三角形中位线定理可得A1E∥CD且A1E=CD，进而由平行四边形的性质得到CE∥A1D，再由线面平行的判定定理可得CE∥平面BA1D．
（2）由BB1⊥底面ABC，结合直三棱柱的几何特征得AA1⊥BD，由已知中AB=BC=1且D为AC的中点，由等腰三角形三线合一，得到BD⊥AC，则BD⊥平面A1ACC1，进而可得∠A1DA为所求二面角A1-BD-C的平面角的补角，解Rt△A1AD，求出∠A1DA的余弦，进而即可得到二面角A1-BD-C的余弦值．
（3）取P为CC1中点，由（2）中结论，我们易证得PD⊥A1D，BD⊥PD，再由线面垂直的判定定理即可得到答案．
方法二：（向量法）（1）以B为坐标原点，射线BC为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系B-xyz，分别求出CE的方向向量和平面BA1D的法向量，再由它们的数量积为0，两向量垂直，得到CE∥平面BA1D．
（2）求出平面BCD的一个法向量，结合（1）中平面BA1D的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角A1-BD-C的余弦值，但要注意二面角是一个钝二面角．
（3）设P（1，0，z），则PD的方向向量为平面A1BD的法向量，由此构造关于z的方程组，解方程求出z的值，即可确定P点的位置．
【解析】
方法一：（几何法）
证明：（1）因为E、D分别是A1C1和AC的中点，则A1E∥CD且A1E=CD，
则CE∥A1D…．（2分），而CE⊄平面BA1D，A1D⊂平面BA1D，则CE∥平面BA1D…（4分）
【解析】
（2）因为B1B⊥平面ABC，故A1A⊥平面ABC，所以AA1⊥BD
又AB=BC=1且D为AC的中点，故BD⊥AC，
而AA1∩AC=A，BD⊥平面A1ACC1
所以A1D⊥BD，AD⊥BD
故∠A1DA为所求二面角A1-BD-C的平面角的补角．…（6分）
在Rt△A1AD中，
所以
故所求二面角的余弦值为…（8分）
（3）P为CC1中点时，即，PD⊥平面A1BD．
因为，所以
即∠A1DA+∠PDC=90°，即∠A1DP=90°，即PD⊥A1D…（10分）
由（2）知，BD⊥平面A1ACC1，PD⊂平面A1ACC1
所以BD⊥PD，又BD∩A1D=D．
所以PD⊥平面A1BD．…（12分）
方法二：（向量法）
证明：（1）以B为坐标原点，射线BC为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系B-xyz
则A（0，1，0），C（1，0，0），，B1（0，0，1），A1（0，1，1），C1（1，0，1），
设平面A1BD的一个法向量n1=（x，y，z）
又
令x=1可得n1n1=（1，-1，1）…（2分），
又因为CE⊄平面A1BD，故CE∥平面BA1D．     …（4分）
【解析】
（2）又平面BDC的一个法向量为n2=（0，0，1），平面A1BD的一个法向量n1=（1，-1，1）…（6分）
设二面角A1-BD-C的大小为θ，可知θ为钝角，
故…（8分）
（3）设P（1，0，z）则…（9分）
要使PD⊥平面A1BD，则需…（10分）
可得，故
即当P是C1C的中点时，
所以PD⊥平面A1BD．…（12分）