Question

已知曲线f （x ）=ax ²+2在x=1处的切线与2x-y+1=0平行．
（1）求f （x ）的解析式；
（2）求由曲线y=f （x ） 与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．

Answer

（1）利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．
（2）因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解．
【解析】
（1）y'=2ax，
于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x-y+1=0平行
∴2a=2
∴a=1
故f （x ）的解析式f （x ）=x 2+2．
（2）联立 ，解得x1=1，x2=2
∴S=∫1（x2+2-3x）dx+∫12（3x-x2-2）dx=+=1
所围成的平面图形的面积1．