Question

AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K_AB•K_OM的值为（ ）
A．e-1
B．1-e
C．e²-1
D．1-e²

Answer

设出弦AB所在的直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2，的表达式，根据直线方程求得y1+y2的表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率，进而代入kAB•kOM中求得结果．
【解析】
设直线为：y=kx+c
联立椭圆和直线 消去y得
b2x2+a2（kx+c）2-a2b2=0，即 （b2+k2a2）x2+2a2kcx+a2（c2-b2）=0
所以：x1+x2=-
所以，M点的横坐标为：Mx=（x1+x2）=-
又：y1=kx1+c
y2=kx2+c
所以y1+y2=k（x1+x2）+2c=
所以，点M的纵坐标My=（y1+y2）=
所以：Kom===-
所以：
kAB•kOM=k×（-）=-=e2-1