Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明PB⊥平面EFD；
（2）求二面角C-PB-D的大小．
（3）求点A到面EBD的距离．

Answer

由于本题给出了三条两两垂直且相交于一点的三条直线DA、DP、DC，故可以考虑建立空间直角坐标系，用向量法解决．对于问题（1），由于条件中已经给出了EF⊥PB，故只需再证明PB⊥DE即可，二者的坐标都可以求出，只需计算即可得证．
对于问题（2），平面PBD一个法向量已经给出，只需找出平面PBC的一个法向量即可，由于三角形PDC是等腰直角三角形，E是PC的中点，容易得到DE⊥PC，而BC与平面PDC垂直容易证明，故能证明所以=（0，，）是平面PBC的一个法向量，所以只需求这两个法向量的夹角即可；
对于问题（3），求点A到面EBD的距离，只需求出平面EBD的一个法向量，A到面EBD的距离转化为向量AB在这个法向量上的投影即可．
【解析】
建立空间直角坐标系，如图．则A（1，0，0），B（1，1，0），
C（0，1，0），D，（0，0，0），P（0，0，1），E（0，，）
（1）P=（1，1，-1），=（0，，）
因为=（1，1，-1）•（0，，）=0，
所以．又已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD
（2）由题知，=（-1，1，0）是平面PBD的一个法向量
又═（0，1，-1）•（0，，）=0，
所以=（0，，）是平面PBC的一个法向量
cos＜，＞=从而二面角C-PB-D的大小为60°
（3）设平面EBD的一个法向量为（x，y，z）
则有
所以=（1，-1，1）是平面EBD的一个法向量．点A到面EBD距离