Question

已知B为抛物线y²=2px（p＞0）上的动点（除顶点），过B作抛物线准线的垂线，垂足计
为C．连接CO并延长交抛物线于A，（O为原点）
（1）求证AB过定点Q．
（2）若M（1，），试确定B点的位置，使|BM|+|BQ|取得最小值，并求此最小值．

Answer

（1）设B点坐标为（，yB），则C为（-，yB），那么直线CO的方程为y=，与抛物线联立，求解，得A点坐标为（ ），故直线AB的方程为 2pyBx-（yB2-p2）y-p2•yB=0，由此能够求出直线AB过定点Q（，0）．
（2）由Q为抛物线焦点，知|BQ|=|BC|，根据三角形两边之和大于第三边，知B点坐标为（）时，|BM|+|BQ|=|BC|+|BM|=|CM|最小，由此能求出其最小值．
【解析】
（1）设B点坐标为（，yB），则C为（-，yB）
那么直线CO的方程为y=，
与抛物线联立，求解，得A点坐标为（ ），
故直线AB的方程为 2pyBx-（yB2-p2）y-p2•yB=0，
令x=，则y=0，
故直线AB过定点Q（，0）．
（2）由（1）得，Q为抛物线焦点，
故|BQ|=|BC|，
根据三角形两边之和大于第三边，从而当yB= 时，即B（）时，
|BM|+|BQ|=|BC|+|BM|=|CM|最小，
最小值为+1．