Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）的单调递增区间；
（2）如果函f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围．

Answer

（1）首先考虑函数的定义域，然后求出导函数=0时的值，讨论导数大于小于0时函数的递增递减区间即可；
（2）由题意可知导函数等于0时在（-1，+∞）有两个不等实根，即2x2+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，设g（x）=2x2+2x+b=0，然后讨论根的判别式大于0即g（-1）大于0得到b的范围即可．
【解析】
（1）由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞），b=-12时，
由 ，得x=2（x=-3舍去），
当x∈（-1，2）时，f'（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，
所以当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增．
（2）由题意 在（-1，+∞）有两个不等实根，
即2x2+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
设g（x）=2x2+2x+b，则 ，
解之得