Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知△ABC的周长为，且．
（1）求C的值；
（2）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．

Answer

（1）根据正弦定理化简，得到a，b和c的关系式，再由三角形的周长为又得到a，b和c的关系式，两者联立即可求出c的值；
（2）由三角形的面积表示出三角形ABC的面积，让其等于sinC，化简后得到ab的值，由（1）中求出的c的值根据周长求出a+b的值，然后由余弦定理表示出cosC，变形后把a+b，ab和c的值代入即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．
【解析】
（1）sinA+sinB=sinC及正弦定理，
得：a+b=c，
∵a+b+c=+1，
∴c+c=+1，
∴c=1；
（2）∵absinC=sinC，
∴ab=，
∵c=1，∴a+b=，
由余弦定理得：
cosC====，又B∈（0，180°），
所以C=60°．