Question

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的极值情况；
（Ⅱ）设g（x）=ln（x+1），当x₁＞x₂＞0时，试比较f（x₁-x₂）与g（x₁-x₂）及g（x₁）-g（x₂）三者的大小；并说明理由．

Answer

（Ⅰ）对函数的解析式进行研究，当x＞0时，函数是增函数，且函数值为正，故极值只可能存在于x＜0时，求导，研究函数的单调性，由于导数中存在参数m，其取值范围对导数的取值有影响，故需要对其分类讨论，观察发现需要分m=0，m＞0，m＜0三类进行研究．
（Ⅱ）三数的比较中前两数的比较可以构造新函数，研究其函数值的取值范围确定两数的大小，后两数的比较由于牵涉到两个变量，且函数名相同故可以采用作差法比较．
解（Ⅰ）：当x＞0时，f（x）=ex-1在（0，+∞）单调递增，且f（x）＞0；
当x≤0时，f′（x）=x2+2mx．
（ⅰ）若m=0，f′（x）=x2≥0，f（x）=x3在（-∞，0]上单调递增，且f（x）=x3≤0．
又f（0）=0，∴f（x）在R上是增函数，无极植；
（ⅱ）若m＜0，f′（x）=x（x+2m）＞0，则f（x）=x3+mx2在（-∞，0）单调递增，
同①可知f（x）在R上也是增函数，无极值；（4分）
（ⅲ）若m＞0，f（x）在（-∞，-2m]上单调递增，在（-2m，0）单调递减，
又f（x）在（0，+∞）上递增，故f（x）有极小值f（0）=0，f（x）有极大值f（-2m）=m3．（6分）
（Ⅱ）当x＞0时，先比较ex-1与ln（x+1）的大小，
设h（x）=ex-1-ln（x+1）（x＞0）
h′（x）=ex-＞0恒成立
∴h（x）在（0，+∞）是增函数，h（x）＞h（0）=0
∴ex-1-ln（x+1）＞0即ex-1＞ln（x+1）
也就是f（x）＞g（x），对任意x＞0成立．
故当x1-x2＞0时，f（x1-x2）＞g（x1-x2）（10分）
再比较g（x1-x2）=ln（x1-x2+1）与g（x1）-g（x2）=ln（x1+1）-ln（x2+1）的大小．
∵g（x1-x2）-[g（x1）-g（x2）]=ln（x1-x2+1）-ln（x1+1）+ln（x2+1）=ln
=ln[1+]＞0
∴g（x1-x2）＞g（x1）-g（x2）
∴f（x1-x2）＞g（x1-x2）＞g（x1）-g（x2）．（12分）