Question

设抛物线y²=2x，
（1）设点，求抛物线上距A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
（2）设A（a，0）（a∈R），求在抛物线上一点到点A距离的最小值d，并写出函数式d=f（a）．

Answer

（1）设P（x，y）为抛物线上任一点，进而根据勾股定理可得|PA|2=2+y2利用x的范围求得|PA|的范围
（2）依题意可得）|PA|2=（x-a）2+y2=分析当a-1≥0和a-1＜0时|PA|的最小值，进而可求得d．
【解析】
（1）设点P（x，y）是抛物线y2=2x上任意一点，
∴
当x=0时，，此时P（0，0）．
（2）设P（x，y）为y2=2x上任意一点，
∴|PA|2=（x-a）2+y2=x2-2ax+a2+2x=[x-（a-1）]2+2a-1（x≥0）
①当a≥1时，x=a-1≥0，即a≥1处|PA|小=
②当a＜1时，x=0，|PA|小=|a|
综上所述，