Question

已知椭圆的方程+=1，椭圆的两焦点分别为F₁，F₂，点P是其上的动点，当△PF₁F₂内切圆的面积取最大值时，内切圆圆心的坐标为    ．

Answer

当△PF1F2内切圆的面积取最大值时即内切圆半径最大即Q点的纵坐标的绝对值最大，因此利用=可得|y|=|yp|而|yp|从而可求出Q点的纵坐标的绝对值的最大值，再结合此时p点的特殊位置求横坐标x
【解析】
如图设内切圆圆心的坐标为Q（x，y）
∵椭圆的方程+=1
∴a2=4，b2=3
∴c2=1，a=2，c=1，pF1+PF2=2a=4，F1F2=2C=2
又∵=
∴×F1F2×|yp|=（pF1+pF2+F1F2）×|y|
∴|y|=|yp|．．
又∵|yp|
∴|y|此时p点在椭圆与y轴相交的两个顶点上故x=0同时内切圆面积为πy2
∴Q（，0）
故答案为（，0）