如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD...

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点．
（1）求证：直线BD₁∥平面PAC；
（2）求直线A₁B与平面BDD₁B₁所成角的正弦值．

（1）设BD交AC于O，连PO，由三角形性中位线定理，我们可得PO∥BD1，结合线面平行的判定定理，即可得到直线BD1∥平面PAC；（2）连A1C1交B1D1于O1点，连BO1，由线面垂直的判定定理，可得A1C1⊥平面BDD1B1，即∠A1BO1即为直线A1B与平面BDD1B1所成角，解三角形A1BO1即可得到答案．证明：（1）设BD交AC于O，连PO， ∵P为DD1的中点，O为DB的中点 ∴PO∥BD1 又PO⊂面PAC，BD1⊈面PAC ∴BD1∥平面PAC 【解析】（2）连A1C1交B1D1于O1点，连BO1，则A1C1⊥B1D1，又A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1=B1， ∴A1C1⊥平面BDD1B1，即∠A1BO1即为直线A1B与平面BDD1B1所成角 ∵A1O1=，A1B= ∴sin∠∠A1BO1=（12分）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等