Question

已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和S_n，且满足：a₂•a₄=65，a₁+a₅=18．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若1＜i＜21，a₁，a_i，a₂₁是某等比数列的连续三项，求i值；
（3）是否存在常数k，使得数列{}为等差数列，若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用等差数列的性质得到a2+a4=18，利用韦达定理得到a2，a4二次方程的两个根，求出两个根，利用等差数列的通项列出方程组，求出首项与公差，求出通项．
（2）利用（1）中求出的通项求出a1，ai，a21，根据它们成等比数列；列出方程求出i的值．
（3）利用等差数列的前n项和公式求出Sn，假设存在k，使数列为等比数列，求出数列的前三项，前三项成等比数列，列出方程求出k的值．
【解析】
（1）【解析】
{an}为等差数列，
∴a1+a5=a2+a4=18，
又a2•a4=65，∴a2，a4是方程x2-18x+65=0的两个根
又公差d＞0，∴a2＜a4，∴a2=5，a4=13．
∴∴a1=1，d=4
∴an=4n-3．（5分）
（2）由1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，∴a1•a21=ai2，
即1×81=（4i-3）2，
解得i=3．
（3）由（1）知，，
假设存在常数k，使数列为等差数列，
由，
得，
解得k=1．
∴此时有，数列为等差数列．
所以存在常数k使得数列为等差数列．