Question

已知函数f（x）=（a≠0）．
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）若a=2，求证：直线3x-y+m=0不可能是函数y=f（x）图象的切线．

Answer

（1）先求出导数fˊ（x），然后讨论a的正负，分别在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间；
（2）假设直线3x-y+m=0是函数y=f（x）图象的切线．设切点为（x，y），然后根据导数的几何意义建立方程，而方程无解，总而说明直线3x-y+m=0不可能是函数y=f（x）图象的切线．
【解析】
（1）（3分）
当a＞0时，f'（x）＞0⇒-1＜x＜1，f'（x）＜0⇒x＜-1或x＞1
递增区间为（-1，1），递减区间为（-∞，-1），（1+∞）（5分）
当a＜0时，递增区间为（-∞，-1），（1+∞），递减区间为（-1，1）（7分）
（2）
假设直线3x-y+m=0是函数y=f（x）图象的切线．设切点为（x，y）
则（10分）
而3x4+8x2+1≥1从而此方程无解
∴直线3x-y+m=0不可能是函数y=f（x）图象的切线．（13分）