Question

已知函数f（x）=（ x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列，若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q+1），b₃=f（q-1）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}的前n项和为S_n，且对一切自然数n，均有++…+=a_n+1，求的值．

Answer

（Ⅰ）由题意知d2-（d-2）2=2d，解得d=2．所以an=2（n-1）．再由 ，知 ．由此能够导出bn=3n-1．
（Ⅱ）由题设知 ，c1=2．所以 ，，由此能够推导出S2n+1，S2n．
【解析】
（Ⅰ）∵a3-a1=2d，∴f（d+1）-f（d-1）=2d．
即d2-（d-2）2=2d，解得d=2．
∴a1=f（2-1）=0．∴an=2（n-1）．
∵，∴．
∵q≠0，q≠1，∴q=-2．
又b1=f（q+1）=4，∴bn=4•（-2）n-1．
（Ⅱ）由题设知 ，∴c1=a2b1=8．
当n≥2时，++…+=an+1，，
两式相减，得 ．
∴cn=2bn=2×3n-1（n≥2）．
∴S2n+1=c1+c2+c3+…+c2n+1=8+2（3+32+…+32n）=8+=32n+1+5．
即S2n=32n+1+5-2×32n=32n+5．
∴==3