Question

已知3，5，21是各项均为整数的无穷等差数列{a_n}的三项，若数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，给出关于数列{a_n}的4个命题：1满足条件的d有8个不同的取值；2存在满足条件的数列{a_n}，使得对任意的n∈N^*，都有S_2n=4S_n成立；3对任意满足条件的d，存在a₁，使得99一定是数列{a_n}中的一项；4对任意满足条件的d，存在a₁，使得30一定是数列{a_n}中的一项；则其中所有正确命题的序号是    ．

Answer

由题意得，公差d可能为1，2，-1，-2，共4个不同的值，故1不正确．根据4个不同公差，分别求出S2n和Sn的值，经检验2不正确．根据4个不同公差，分别求出首项a1，经检验3、4正确．
【解析】
∵3，5，21是各项均为整数的无穷等差数列{an}的三项，∴公差d 可能为1，2，-1，-2，共4个不同的值． 
故1不正确．
当d=1时，sn=na1+，s2n=2na1+，S2n=4Sn 不成立，
同理，当d=-1时，S2n=4Sn不成立．
当d=2时，sn=na1+n（n-1），，s2n=2na1+2n（2n-1），S2n=4Sn 不成立，
同理，当 当d=-2时，S2n=4Sn 不成立，故 2不正确．
当d=1时，通项公式为 an=a1+（n-1），令99=a1+（n-1），a1=100-n．
同理当d=-1时，通项公式为 an=a1-（n-1），令99=a1-（n-1），a1=98+n．
当d=2时，通项公式为  为 an=a1+2（n-1），令99=a1+2（n-1），a1=101-2n．．
当d=-2时，通项公式为  为 an=a1-2（n-1），令99=a1-2（n-1），a1=97+2n．．故3正确．
当d=1时，通项公式为 an=a1+（n-1），令30=a1+（n-1），a1=31-n．
同理当d=-1时，通项公式为 an=a1-（n-1），令30=a1-（n-1），a1=29+n．
当d=2时，通项公式为  为 an=a1+2（n-1），令30=a1+2（n-1），a1=32-2n．．
当d=-2时，通项公式为  为 an=a1-2（n-1），令30=a1-2（n-1），a1=28+2n．．故4正确．．
故答案为 3  4