Question

已知函数f（x）=3^-x，等比数列a_n的前n项和为f（n）-c，正项数列b_n的首项为c，且前n项和S_n满足
（1）求c，并求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列的前n项和为T_n．

Answer

（1）由等比数列{an}的前n项和为f（n）-c求出数列{an}的公比和首项，得到数列{an}的通项公式；由数列{bn}的前n项和Sn满足Sn-Sn-1=可得到数列{ }构成一个首项为1公差为1的等差数列，进而得到数列{ }的通项公式，再由bn=Sn-Sn-1可确定{bn}的通项公式．
（2）首先写出数列的通项公式，然后利用错位相减的方法求数列前n项和．
【解析】
（1）∵等比数列an的前n项和为f（n）-c，
∴a1=f（1）-c=-c，
∴a2=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-，a3=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-
又数列{an}成等比数列，
=-，
∵a1=-c
∴-=-c，∴c=1
又公比q==
所以an=-•，n∈N；
∵Sn-Sn-1==（n≥2）
又bn＞0，＞0，∴=1；
∴数列{ }构成一个首项为1公差为1的等差数列，
∴=1+（n-1）×1=n，Sn=n2
当n≥2，bn=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1；
又b1=c=1适合上式，∴bn=2n-1（n∈N）；
（2）由（1）知=（2n-1）+（2n-1）•（）n
设（2n-1）•（）n前n项和为Qn   设数列2n-1的前n项和为Sn
Qn=+3×（）2+5×（）3+…+（2n-3）•（）n-1+（2n-1）•（）n     ①
Qn=（）2+3×（）3+5×（）4+…+（2n-3）•（）n+（2n-1）•（）n+1  ②
①-②得：=
∴Qn=1-（n+1）（）n
∴Sn=n2
∴Tn=Sn+Qn=n2+1-（n+1）（）n