Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c=2，．
（I）设向量，，若，求△ABC的面积；
（Ⅱ）若，求角B的取值范围．

Answer

（I）由向量垂直满足的条件，根据平面向量的数量积的运算法则化简，得到一个关系式，然后由c和C的值，利用余弦定理表示出关于a与b的关系式，把求出的关系式代入即可求出ab的值，由ab的值及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；
（Ⅱ）由C的度数求出A+B的度数，用含B的式子表示出A，代入已知的式子中，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，得到tanB的范围，由B的范围，利用正切函数的图象与性质即可求出B的具体范围．
【解析】
（I）由题意可知，
∴a（b-2）+b（a-2）=0，
∴a+b=ab．（3分）
由余弦定理可知，4=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab，
即（ab）2-3ab-4=0，
∴ab=4（舍去ab=-1），
则；（7分）
（Ⅱ）∵，
∴
即，
∵，
∴．（14分）