Question

已知函数f（x）=2（a-1）ln（x-1）+x-（4a-2）lnx，其中实数a为常数．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）设函数y=f（e^x）有极大值点和极小值点分别为x₁、x₂，且x₂-x₁＞ln2，求a的取值范围．

Answer

（I）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（II）由题意可知由题意知，y′=0有两解．下面分类讨论：当2a-1＞2时；当1＜2a-1＜2时；当2a-1=2时，研究其极值点得到b的范围即可．
【解析】
（1）【解析】
当a=2时，f（x）=2ln（x-1）+x-6lnx，∴，
又∵x＞0，x-1＞0，∴当2＜x＜3时，f′（x）＜0，∴函数f（x）的单调递减区间为（2，3）．（6分）
（2）∵y=f（ex）=2（a-1）ln（ex-1）+ex-（4a-2）lnex，∴，
由题意知，y′=0有两解．
又ex-1＞0，∴2a-1＞1，∴a＞1，（9分）
当2a-1＞2时，y=f（ex）在（0，ln2），（ln（2a-1），+∞）上单调递增，
在（ln2，ln（2a-1））单调递减，∴x1=ln2，x2=ln（2a-1），∵x2-x1＞ln2，∴，（12分）
当1＜2a-1＜2时，y=f（ex）在（0，ln（2a-1）），（ln2，+∞）上单调递增，在（ln（2a-1），ln2）单调递减，∴x1=ln（2a-1），x2=ln2，∵x2-x1＞ln2，∴a＜1，舍去，
当2a-1=2时，无极值点，舍去，∴．（15分）