Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ADC=90°，△ABC为等边三角形，且AA₁=AD=DC=2．
（Ⅰ）求异面直线AC₁与BC所成的角余弦值；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面AC₁；
（Ⅲ）求二面角B-AC₁-C的正切值．

Answer

（1）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点C1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（2）由BD垂直面AC1中两相交直线，根据线面垂直的判定定理即可证得线面垂直；
（3）先找出二面角的平面角，再在直角三角形中求出正切值即可．
【解析】
（Ⅰ）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BC∥B1C1
∠AC1B1是异面直线AC1与BC所成的角（2分）
在△AC1B1中，AC1=AB1=2，
C1B1=2，cos∠AC1B1=
故异面直线AC1与BC所成的角的余弦值为（4分）
（Ⅱ）因为AD=DC，AB=BC可得BD⊥AC（垂直平分线）（5分）
又CC1⊥平面ABCD，AC为AC1平面ABCD上的射影（7分）
所以BD⊥面AC1（8分）
（Ⅲ）设AC∩BD=O，由（Ⅱ）得BD⊥平面ACC1，过O作OH⊥AC1，垂足为
H，连接BH，则BH⊥AC1，∠OHB为二面角B-AC1-C的平面角（11分）
在Rt△OBH中，OB=，OH=⇒tan∠OHB=3（13分）
故二面角B-AC1-C的正切值为3