如图分别为三棱锥S-ABC的直观图与三视图，在直观图中，SA=SC，M、N分别为...

如图分别为三棱锥S-ABC的直观图与三视图，在直观图中，SA=SC，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）求证：AC⊥SB；
（2）求二面角M-NC-B的余弦值．

（1）由三视图我们易得平面SAC⊥底面ABC，底面△ABC为正三角形，结合已知中SA=SC，我们取AC的中点O，连接OS，OB．根据等腰三角形三线合一，我们易证明AC⊥平面OSB，根据线面垂直的定义，得到结论．（2）以O的原点，以OA，OB，OS分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，确定各点坐标后，求出相关向量的坐标，然后求出平面MNC与平面NBC的法向量，利用向量法求二面角M-NC-B的余弦值．【解析】（1）由题意知：，侧面SAC⊥底面ABC，底面△ABC为正三角形，取AC的中点O，连接OS，OB． ∵SA=SC，AB=AC， ∴AC⊥SO，AC⊥OB ∴AC⊥平面OSB， ∴AC⊥SB（4分）（2）如图所示建立空间直角坐标系O-xyz，则∴ 设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则取z=1得所以（8分）又由上可得设m=（a，b，c）为平面NBC的法向量则得取c=1，则（10分）所以所以二面角M-NC-B的余弦值为（12分）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等