Question

已知函数f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（1）求b．
（2）讨论函数的零点个数？

Answer

（1）根据对任意x∈R，有f（-x）=f（x）建立等式关系，即可求出b的值；
（2）先令，求出该函数的最小值，将k与最小值进行比较，当时，函数无零点，当k＜1或时，函数有两个零点，当k=1时，函数有三个零点，当时，函数有四个零点．
【解析】
（1）由f（-x）=（-x）2+bsin（-x）-2=f（x）
得b=0．（4分）
（2），
令．
所以
令y'=0，则x1=-1，x2=0，x3=1，列表如下：

x （-∞-1） -1 （-1，0） （0，1） 1 （1，+∞）
y' + - + -
h（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值1 单调递增 极大值 单调递减

所以当时，函数无零点；
当k＜1或时，函数有两个零点；
当k=1时，函数有三个零点．
当时，函数有四个零点．（13分）