Question

如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，∠BCA=90°，E、M分别是CC₁、A₁B₁的中点．
（1）求证：A₁B⊥C₁M；
（2）求证：C₁M∥平面AB₁E．

Answer

（1）由已知中直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，E、M分别是CC1、A1B1的中点，我们易结合直三棱柱的结构特征得到，C1M⊥A1B1．BB1⊥C1M．由线面垂直的判定定理即可得到C1M⊥平面A1BB1，进一步再由线面垂直的性质定理，即可得到答案．
（2）连接AB1交A1B1于点D，连接DE、MD、AE、EB1，由三角形的中位线定理，我们易得四边形MDEC1是平行四边形，即C1M∥ED，再由线面平行的判定定理，即可得到结论．
证明：（1）∵CA=CB∴C1A1=C1B1，点M为A1B1的中点∴C1M⊥A1B1..（2分）
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∴B1B⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1
∴BB1⊥C1M．（4分）又∵BB1∩A1B1=B1∴C1M⊥平面A1BB1，A1B⊂平面A1BB1∴C1M⊥A1B（6分）
（2）连接AB1交A1B1于点D，连接DE、MD、AE、EB1．∵四边形ABB1A1是长方形∴点D为AB1的中点
∵点M为A1B1的中点∴MD为△B1A1A的中位线∴MD∥AA1且|MD|=|AA1|（8分）
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1E∥AA1且∴MD∥C1E且|MD|=|C1E|∴四边形MDEC1是平行四边形∴C1M∥ED又∵ED⊂平面AB1E，C1M⊄平面AB1E∴C1M∥平面AB1E（13分）