Question

已知函数f（x）=x³-ax²-x+a，其中a为实数．
（1）求导数f′（x）；
（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，3]上的最大值和最小值；
（3）若f（x）在（-∞，-2]和[3，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．

Answer

（1）由已知中函数f（x）=x3-ax2-x+a，根据导数求解公式，代入即可求出导数f′（x）；
（2）若f′（-1）=0，我们构造关于a的方程，解方程，即可求出参数a的值，进而求出f′（x）的解析式，分别函数的在各区间上的符号，求出区间[-2，3]的最值点，代入即可求出[-2，3]上的最大值和最小值；
（3）由若f（x）在（-∞，-2]和[3，+∞）上都是递增的，结合已知中f′（x）=3x2-2ax-1图象开口向上，且恒过点（0，-1），可转化为f′（-2）≥0，解不等式即可求出a的取值范围．
【解析】
（1）f′（x）=3x2-2ax-1（3分）
（2）f′（-1）=3+2a-1=0∴a=-1∴f（x）=x3+x2-x-1∴f′（x）=3x2+2x-1
由∴f′（x）=0可得
又∵
∴f（x）在[-2，3]上的最小值为-3．（9分）
（3）∵f′（x）=3x2-2ax-1图象开口向上，且恒过点（0，-1）
由条件可得：∴f′（-2）≥0，11+4a≥0即：
∴..（14分）