Question

已知二次函数f（x）的图象过点（0，2），且f′（x）=-2x+2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的图象与直线y=2围成的封闭图形的面积．

Answer

（1）设出二次函数的解析式，将已知条件转化为系数满足的方程，求出系数即得f（x）的解析式．
（2）求出f（x）与y=2的交点坐标，将曲边图象的面积用定积分不是，利用微积分基本定理求出值．
【解析】
（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），
则f'（x）=2ax+b=-2x+2，
故
又f（0）=c=2，故f（x）的解析式为f（x）=-x2+2x+2．
（2）令-x2+2x+2=2，解得x=0或x=2，
所以f（x）的图象与直线y=2交于点（0，2）和点（2，2）．
记所求的面积为S，
则．