Question

如图，ABCD是边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流从A流到E，且河流是以A为顶点开口向上的一段抛物线弧，其中E为BC的中点．某公司准备投资建一个大型矩形游乐园PMDN，问如何修建才能使得游乐园的面积最大？最大面积是多少？

Answer

首先建立坐标系，表示出抛物线AE的方程，并设P的坐标，用其坐标表示出游乐园的面积S的函数，通过求导法找到最大值．
【解析】
以A为原点，为x轴的正向建立平面直角坐标系．设抛物线弧AE
的方程为y=ax2（0≤x≤4）
∵E（4，2），
，故．
设，矩形PMDN的面积为S，
则．
∴．
令S'=0，得
或（舍）．
∵当
时，S'＞0；当
时，S'＜0，
∴
为S的极大值点，也是最大值点．
故当时，S有最大值且最大值为．
答：当游乐园PMDN的两邻边时，游乐园PMDN的面积最大，且最大面积等于．