Question

在△ABC中，sinB+sinC=sin（A-C）．
（1）求A的大小；
（2）若BC=3，求△ABC的周长l的最大值．

Answer

（1）将sinB+sinC=sin（A-C）变形得sinC（2cosA+1）=0，得到cosA=，故A=．
 （2）记B=θ，则C=-θ（0＜θ＜），由正弦定理得，△ABC的周长l=2sin（θ+）+3，
由正弦函数的值域求得其最大值．
【解析】
（1）将sinB+sinC=sin（A-C）变形得sinC（2cosA+1）=0，
而sinC≠0，则cosA=，又A∈（0，π），于是A=；                  
（2）记B=θ，则C=-θ（0＜θ＜），由正弦定理得，
则△ABC的周长l=2[sinθ+sin（-θ）]+3=2sin（θ+）+3≤2+3，
当且仅当θ=时，周长l取最大值2+3．