Question

如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，其中AB=2，PA=．
（1）求证：PA⊥B₁D₁；
（2）求平面PAD与平面BDD₁B₁所成的锐二面角θ的大小；
（3）求B₁到平面PAD的距离．

Answer

（1）连接AC，交BD于点O，连接PO，根据正四棱锥的几何特征易得PO⊥面ABCD，进而PO⊥BD，再由正方形对角线互相垂直得AC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，进而PA⊥BD，结合BD∥B1D1，即可得到PA⊥B1D1；
（2）过点O作OM⊥PD于点M，连接AM，由（1）中结论，可证得∠AMO就是二面角A-PD-O的平面角，解三角形AMO，即可得到平面PAD与平面BDD1B1所成的锐二面角θ的大小；
（3）分别取AD，BC中点E，F，作平面PEF，交底面于两点S，S1，交B1C1于点B2，过点B2作B2B3⊥PS于点B3，则B2B3⊥面PAD，即B2B3的长就是点B1到平面PAD的距离．
证明：（1）连接AC，交BD于点O，连接PO，
则PO⊥面ABCD，又∵AC⊥BD，
∴PA⊥BD，
∵BD∥B1D1，∴PA⊥B1D1．（4分）
【解析】
（2）∵AO⊥BD，AO⊥PO，
∴AO⊥面PBD，
过点O作OM⊥PD于点M，连接AM，
则AM⊥PD，
∴∠AMO就是二面角A-PD-O的平面角，（6分）
又∵AB=2，PA=，
∴OD=，PO=，
OM=，
∴tan∠AMO=，
即二面角的大小为arctan．（8分）
（3）分别取AD，BC中点E，F，作平面PEF，交底面于两点S，S1，交B1C1于点B2，
过点B2作B2B3⊥PS于点B3，则B2B3⊥面PAD，又B1C1∥AD，
∴B2B3的长就是点B1到平面PAD的距离．（10分）
∵PO=AA1=2，
∴EF=，tan∠PSS1=，sin∠PSS1=，
∴B2B3=B2Ssin∠PSS1=．（（12分） ）