Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=（1+cos²）a_n+sin²，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，a₄，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：S_n≤n+．

Answer

（1）令n=1、2、3代入题干中的式子，可得a2，a3，a4，可以看出项与项之间有一定关系，n为偶数时令n=2mn为奇数时令n=2m-1关系中的下角码用m表示，两个关系式联立可得出一个特殊的数列，数列{a2m-1+2}是公比为2的等比数列，可求解析式．
（2）验证一下n=1时，不等式成立，n≥2时，先把bn的式子分离常数，后然利用放缩法先把bn放大，分母亲变为等比数列的项，利用等比数列的前n项和公式求Sn．
【解析】
（1）a2=（1+0）a1+1=2，a3=（1+1）a2+0=4，a4=（1+0）a3+1=5，
∵an+1=，∴
∴a2m+1=2a2m-1+2，∴a2m+1+2=2（a2m-1+2），∴=2
∴数列{a2m-1+2}是公比为2的等比数列，∴a2m-1+2=（a1+2）2m-1，
∴a2m-1=-2+3•2m-1（m∈N+），a2m=a2m+1=-1+3•2m-1（m∈N+），
∴an===．
（2）bn==1+=1+，
①当n=1时，S1=b1=2≤1+，不等式成立；
②当n≥2时，-1+3•2n-2≥2，∴0＜＜1，
∵0＜＜=
∴＜
∴bn＜1+=1+
∴Sn＜2+（1+）+（1+）+…+（1+）
=n+1+×（1-）=n+1+（1-）
=n+-＜n+
由①②知：Sn≤n+．