Question

已知：数列{a_n}满足，其中n∈N，首项为a．
（1）若对于任意的n∈N，数列{ a_n}还满足a_n=p（p为常数），试求a的值；
（2）若a=4，求满足不等式a_n≤2的自然数n的集合；
（3）若存在a，使数列{ a_n}满足：对任意正整数n，均有a_n＜a_n+1，求a的取值范围．

Answer

（1）由题意知an=an+1=a=p，由此可知a的值为1或2．
（2）由已知，得an+1-1=，，a=4，由此可以求得自然数n的集合为：{n|n≥3，n∈N}．
（3）解不等式an＜an+1，得an＜，得an＜-1或1＜an＜2．要使a1＜a2，则a1＜-1或1＜a1＜2．然后在分类讨论，可以求得a∈（1，2）．
【解析】
（1）∴对任意的n∈N，an=p（p为常数），
∴an=an+1=a=p，
则=p，得p2-3p+2=0，
所以p=1或p=2，故a的值为1或2．（4分）
（2）由已知，得an+1-1=，，
a=4，所以由（1）得an≠1，2对任意n∈N成立．

∴所求的自然数n的集合为：{n|n≥3，n∈N}（8分）
（3）解不等式an＜an+1，得an＜，得an＜-1或1＜an＜2．
要使a1＜a2，则a1＜-1或1＜a1＜2．
（i）当a1＜-1时，a2=f（a1）=4-＞4，而a3=f（a2）=4-＜4＜a2，明显不满足题意，舍去；
（ii）当1＜a1＜2时，由a2=4-，得1＜a2＜2，
由a3=4-，和1＜a3＜2，
…，…，
依此类推，an=4-，得1＜an＜2，
而1＜an＜2时，不等式an＜an+1成立．
∴数列{an}中的所有项均满足an＜an+1（n∈N*）．
综上所述，a1∈（1，2），由a1=f（a），得a∈（1，2）（14分）