Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，E是DD₁的中点．
（1）求证：AC⊥B₁D；
（2）若B₁D⊥平面ACE，求的值．

Answer

（1）AC⊥BD且B1B⊥AC又因为BD∩B1B=B所以AC⊥面B1BD，因为B1D⊂面B1BD，所以AC⊥B1D．
（2）因为B1D⊥CE且DC1是B1D在平面CC1D1D上的射影，所以CE⊥DC，可得∠C1DC=∠CED∴△C1DC∽△CED，根据相似得到．
（1）证明：连接BD
∵底面ABCD是正方形
∴AC⊥BD
又∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中
∴B1B⊥面ABCD
∴B1B⊥AC又因为BD∩B1B=B
所以AC⊥面B1BD
又∵B1D⊂面B1BD
∴AC⊥B1D
（2）连接DC1，DC1是B1D在平面CC1D1D上的射影
∵B1D⊥平面ACE且CE⊂平面ACE
∴B1D⊥CE
∵DC1是B1D在平面CC1D1D上的射影
∴CE⊥DC
在平面CC1D1D中如图所示∠C1DC=∠CED，

∴△C1DC∽△CED
∴即
∴2CD2=CC12
∴即
故的值为．．