Question

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|，
（1）求不等式f（x）≤6的解集．
（2）若关于x的不等式f（x）＞a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）讨论2x-3和2x+1的正负化简绝对值代入到f（x）≤6中，求出并集即可；
（2）讨论x的值得到f（x）的分段函数解析式，求出f（x）的最小值大于a即可求出a的取值范围．
【解析】
（1）①当时，解得x≤2，所以；
②当时，解得x≥-1，所以；
③当时，解得x∈R，所以；
综上：不等式的解集为x|-1≤x≤2．
（2）因为f（x）=
所以，要使关于x的不等式f（x）＞a恒成立，
即求出f（x）的最小值为4，
于是a＜4．