Question

已知：对于数列{a_n}，定义{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n，
（1）若数列{a_n}的通项公式（n∈N^*），求：数列{△a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的首项是1，且满足△a_n-a_n=2ⁿ，
①设，求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
②求：数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer

（1）直接把代入△an=an+1-an，整理即可求出数列{△an}的通项公式；
（2）①先利用△an-an=2n得到an+1=2an+2n．再利用等差数列的定义来证明数列{bn}是等差数列即可，进而求出数列{bn}的通项公式；
②由上面求出的结论，直接代入可以得到数列{an}的通项公式，再利用数列求和的错位相减法求和即可．
【解析】
（1）依题意△an=an+1-an，
∴△an=[（n+1）2-（n+1）]-[n]=5n+1
（2）①由△an-an=2n⇒an+1-an-an=2n⇒an+1=2an+2n．
∵，
∴bn+1-bn===，且，
故{bn}是首项为，公差为的等差数列
∴bn=
②∵，
∴an==n•2n-1
∴sn=1•2+2×21+3×22+…+n•2n-1（1）
2sn=1•21+2•22+…+n•2n（2）
（1）-（2）得-sn=1+2+22+…+2n-1-n•2n
=-n•2n
∴sn=n•2n-2n+1
=（n-1）2n+1．