Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别为A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁的中点．
（1）求异面直线AG与BF所成角的余弦值；
（2）求证：AG∥平面BEF；
（3）试在棱BB₁上找一点M，使DM⊥平面BEF，并证明你的结论．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，可得，，进而利用向量的有关运算计算出两个向量的夹角，再转化为两条异面直线的夹角．
（2）利用向量的关系可得：，所以与平面BEF共面，再根据线面平行的判定定理可得答案．
（3）因为DM⊥平面BEF，所以，进而求出m的数值得到答案．
【解析】
（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别作为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（1，1，0），，，，
∴，，
∴
故异面直线AG与BF所成角的余弦值为．
（2）∵，，
而，∴，
故与平面BEF共面，
又因为AG不在平面BEF内，
∴AG∥平面BEF．
（3）设M（1，1，m），则
由，
∴，
所以M为棱BB1的中点时，DM⊥平面BEF．