Question

已知函数，
（1）讨论函数f（x）的性质（定义域，奇偶性，单调性（不要求证明））；
（2）根据函数f（x）的性质画出y=f（x）的图象（草图）；
（3）判断f（-2-a²）与f（a²+1）（其中a∈R，且a≠0）的大小，并说明理由．

Answer

（1）根据使函数的解析式有意义的原则，可以得到函数的定义域，根据函数奇偶性的定义，可以判断函数的奇偶性，根据复合函数同增异减的原则，可以判断出函数的单调性．
（2）根据（1）中函数的性质，我们易画出y=f（x）的图象（草图）；
（3）根据函数的奇偶性，我们可得f（-2-a2）=f（a2+2），再根据函数的单调性，分析两个自变量的大小，即可得到答案．
【解析】
（1）函数f（x）的定义域为：（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）
函数f（x）为偶函数，
函数f（x）在区间（-∞，-1），[0，1）上为增函数，
在区间（-1，0]，（1，+∞）上为减函数
（2）由（1）中函数的性质，可得y=f（x）的图象如图所示：
（3）∵函数f（x）为偶函数
∴f（-2-a2）=f（a2+2）
又∵f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，且a2+2＞a2+1≥1
∴f（a2+2）＞f（a2+1）
即f（-2-a2）＞f（a2+1）