Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AB=BC=3，BB₁=4，连接B₁C，在CC₁上有点E，使得A₁C⊥平面EBD，BE交B₁C于F．
（1）求ED与平面A₁B₁C所成角的大小；
（2）求二面角E-BD-C的大小．

Answer

（1）连接A1D，由长方体的几何特征，易证BE⊥平面A1B1C，连接DF，则∠EDF为ED与平面A1B1C所成的角，解Rt△EDF，即可得到ED与平面A1B1C所成角的大小；
（2）连接EO，易由（1）的结论，结合二面角的平面角的定义，得到∠EOC即为二面角E-BD-C的平面角，解Rt△EOC，即可求出二面角E-BD-C的大小．
【解析】
（1）连接A1D，由A1B1∥CD，知D在平面A1B1C内，由A1C⊥平面EBD．
得A1C⊥EB又∵A1B1⊥BE，∴BE⊥平面A1B1C，即得F为垂足．
连接DF，则∠EDF为ED与平面A1B1C所成的角．
∵AB=BC=3，BB1=4，
∴B1C=5，BF=
∴CF=，B1F=，EF=，EC=，ED=
在Rt△EDF中，sin∠EDF=
∴ED与平面A1B1C所成角arcsin
（2）连接EO，由EC⊥平面BDC，且AC⊥BD，知EO⊥BD
∴∠EOC即为二面角E-BD-C的平面角
∵EC=，OC=
∴在Rt△EOC中，tan∠EOC==
∴二面角E-BD-C的大小为arctan