Question

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，率心率，此椭圆与直线交于A、B两点，且OA⊥OB（其中O为坐标原点）．
（1）求椭圆方程；
（2）若M是椭圆上任意一点，F₁、F₂为椭圆的两个焦点，求∠F₁MF₂的取值范围．

Answer

（1）设椭圆方程为.． ，，a2=2b2．椭圆方程化简为 ．椭圆与直线相交，解方程组：，由此能导出所求椭圆．
（2）在椭圆中，，|MF1|+|MF2|=2a，
=，其中：a≤|MF2|≤a+c．由此能导出．
【解析】
（1）设椭圆方程为.．
∵，，a2=2b2．
∴椭圆方程化简为 ．
∵椭圆与直线相交，解方程组：，
由①代入②，代简得．
根据韦达定理，设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵OA⊥OB，x1x2+y1y2=0，③
由②得，
把④代入③，得，
∴b2=1
∴所求椭圆为．
（2）在椭圆中，，
∵|MF1|+|MF2|=2a，
∴
=
=
=
=
其中：a≤|MF2|≤a+c．
当|MF2|=a时，cos∠F1MF2有最小值为0，
此时，∠F1MF2有最大值为，
当|MF2|=a+c时，即M点与椭圆长轴左端点重合，∠F1MF2有最小值为0，故．