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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c. (1)若f(-1)=0,试判断函数f(...

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若f(-1)=0,试判断函数f(x)零点个数;
(2)是否存在a,b,c∈R,使f(x)同时满足以下条件:①对任意x∈R,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥0;②对任意x∈R,都有manfen5.com 满分网,若存在,求出a,b,c的值,若不存在,请说明理由.
(1)通过对二次函数对应方程的判别式进行分析判断方程根的个数,从而得到零点的个数; (2)存在性问题的一般处理方法就是假设存在,然后根据题设条件求得参数的值. 【解析】 (1)∵f(-1)=0, ∴a-b+c=0即b=a+c, 故△=b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2 当a=c时,△=0,函数f(x)有一个零点; 当a≠c时,△>0,函数f(x)有两个零点. (2)假设存在a,b,c满足题设,由条件①知抛物线的对称轴为x=-1 且 在条件②中令x=1,有0≤f(1)-1≤0, ∴f(1)=1, 即a+b+c=1 由(检验略) ∴存在使f(x)同时满足条件①②.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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