Question

设直线l₁：y=kx，l₂：y=-kx，圆P是圆心在x轴的正半轴上，半径为3的圆．
（Ⅰ）当k=时，圆P恰与两直线l₁、l₂相切，试求圆P的方程；
（Ⅱ）设直线l₁与圆P交于A、B，l₂与圆P交于C、D．
（1）当k=时，求四边形ABDC的面积；
（2）当k∈（0，）时，求证四边形ABDC的对角线交点位置与k的取值无关．

Answer

直线l1：y=kx，l2：y=-kx 关于x轴对称．
（Ⅰ）设圆心P（a，0），a＞0．利用切线的性质：圆心到切线的距离等于半径，列方程求 a．
（Ⅱ）设A（x1，y1）B（x2，y2），（1）等腰梯形ABDC的面积=（AC+BD）×h，AC，BD，h用x1，y1，x2，y2，表示．代入求解．
（2）根据图形的对称性，四边形ABDC的对角线交点在x轴上．能证明此点是定点即可．
【解析】
直线l1：y=kx，l2：y=-kx 关于x轴对称
（Ⅰ）设圆的标准方程为（x-a）2+y2=9，利用切线的性质：圆心到切线的距离等于半径，
∴=3，解得a=5
∴圆的标准方程为（x-5）2+y2=9
（Ⅱ）（1）设A （x1，y1）B（x2，y2），则C（x1，-y1）D（x2，-y2），直线l1：y=x 与圆P方程联立，消去x得5y2-20y+16=0，得A（，），B（，）．
等腰梯形ABDC的面积=（AC+BD）×h=（2y1+2y2）（x2-x1）=×8×=．
（2）当k∈（0，）时，y=kx与圆P方程联立，并整理得：（1+k2）x2-10x+16=0，△=-64k2+36＞0．x1=，x2=
y1=，y2=，AC的斜率为k==．
AC的方程为y-y1=k（x-x1），将x1，y1，k代入并化简整理得：y=．与x 轴交与定点（，0）与k的值无关．