Question

已知函数f（x）=sin（x+）+cos（x-），x∈R
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知cos（β-α）=，cos（β+α）=-.0＜α＜β，求证：[f（β）]²-2=0．

Answer

（Ⅰ）利用诱导公式对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的周期性和值域求解．
（Ⅱ）利用两角和公式把已知条件展开后相加，求得β的值，代入函数解析式中求得答案．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=sin（x+）+cos（x-）=sin（x-）+sin（x-）=2sin（x-）
∴T=2π，最小值为-2
（Ⅱ）∵cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=，cos（β+α）=cosβcosα-sinβsinα=-，
两式相加得2cosβcosα=0，
∵0＜α＜β，
∴β=
∴[f（β）]2-2=4-2=0