Question

设函数f（x）=log_a（x+b）（a＞0且a≠1），f（x）的反函数f^-1（x）的图象与直线y=x的两个交点的横坐标分别为0、1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当点（x，y）是y=f（x）图象上的点时，点是函数y=g（x）上的点，求函数y=g（x）的解析式：
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当g-f（x）≥0时，求x的取值范围（其中k是常数，且k≥）．

Answer

第一问可以利用互为反函数的两个函数图象关于y=x对称进行求解．
第二问可根据点（x，y）是y=f（x）图象上的点时，点是函数y=g（x）上的点再结合第一问可列两个式y=f（x）=log2（x+1），然后利用换元求解．
第三问在（1）（2）的条件下代入求解含参不等式，注意对根的大小进行分类讨论．
【解析】
（1）由题意知f-1（x）的图象与直线y=x的两个交点为（0，0），（1，1）
∴函数f（x）=loga（x+b）过（0，0），（1，1）两点
∴即b=1，a=2
∴f（x）=log2（x+1）
（2）∵点（x，y）是y=f（x）图象上的点
∴y=f（x）=log2（x+1）
∵点是函数y=g（x）上的点
∴=g（）吗
∴=g（）
用3x代x：g（x）=
（3）∵g-f（x）≥0
∴log2（kx+1）-2log2（x+1）≥0
∴且kx+1＞0且k≥
∴当时   k-2≤x≤0
  当 k＞2时  0≤x≤k-2