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已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,nan+1=Sn+n(n+1), (1)...

已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,nan+1=Sn+n(n+1),
(1)求数列an的通项公式;
(2)设manfen5.com 满分网,如果对一切正整数n都有bn≤t,求t的最小值.
(1)由nan+1=Sn+n(n+1)可得(n-1)an=Sn-1+n(n-1)(n≥2) 两式相减可整理可得,an+1=an+2(n≥2),由a1=2,可得a2=S1+2=4,a2-a1=2 故数列{an}是以2为首项,以2为公差的等差数列,由等差数列的通项公式可求 (2)由(1)可求,Sn=n(n+1), 由数列的单调性可知,bk≥bk+1,bk≥bk-1,从而可求数列{bn}的最大项,由bn≤t恒成立可得t≥bn的最大值,进而可求t的最小 【解析】 (1)∵nan+1=Sn+n(n+1) ∴(n-1)an=Sn-1+n(n-1)(n≥2) 两式相减可得,nan+1-(n-1)an=Sn-Sn-1+2n 即nan+1-(n-1)an=an+2n,(n≥2) 整理可得,an+1=an+2(n≥2)(*) 由a1=2,可得a2=S1+2=4,a2-a1=2适合(*) 故数列{an}是以2为首项,以2为公差的等差数列,由等差数列的通项公式可得,an=2+(n-1)×2=2n (2)由(1)可得,Sn=n(n+1), ∴ 由数列的单调性可知,bk≥bk+1,bk≥bk-1 解不等式可得2≤k≤3,k∈N*,k=2,或k=3, b2=b3=为数列{bn}的最大项 由bn≤t恒成立可得,则t的最小值
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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