Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n+n²-4n（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）写出数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求证：数列{a_n-2n+1}为等比数列；
（Ⅲ）求S_n．

Answer

（1）由a1=S1，可求a1，再由a2=S2-S1，a3=S3-S2，可分别求出a2，a3．
（2）要证数列{an-2n+1}为等比数列，只需证它的后一项与前一项的比是常数即可．
（3）由（Ⅱ）可知数列{an-2n+1}为等比数列，求出数列{an}的通项公式，进而求前n项和Sn．
【解析】
（Ⅰ）由Sn=2an+n2-4n，
当n=1时，a1=2a1+1-4，可得a1=3．an+1=Sn+1-Sn=2an+1+（n+1）2-4（n+1）-2an-n2+4n，
可得an+1=2an-2n+3．
可得a2=7，a3=13．
（Ⅱ）由an+1=2an-2n+3可得，．
又a1-2×1+1=2．
所以数列{an-2n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，an-2n+1=2n．
所以an=2n-1+2n．
又Sn=2an+n2-4n，
可得Sn=2n+1+n2-2．