现将边长为2米的正方形铁片ABCD裁剪成一个半径为1米的扇形和一个矩形CRGP，...

现将边长为2米的正方形铁片ABCD裁剪成一个半径为1米的扇形 manfen5.com 满分网

和一个矩形CRGP，如图所示，点E、F、P、R分别在AB、AD、BC、CD上，点G在 manfen5.com 满分网

上．设矩形CRGP的面积为S，∠GAE=θ，试将S表示为θ的函数，并指出点G在 manfen5.com 满分网

的何处时，矩形面积最大，并求之．

先利用线段之间的关系求出矩形CRGP的面积S关于θ的函数关系式，再借助于θ的取值范围以及二次函数在闭区间上求最值的方法即可求出矩形面积最大值．【解析】延长RG交AB于点M，则GP=AB-AM=2-cosθ，PC=BC-MG=2-sinθ，于是，S=GP•PC=4-2（sinθ+cosθ）+sinθ•cosθ 令t=sinθ+cosθ=sin（θ+45°），则sinθcosθ=，所以S=4-2t+=（t-2）2+． ∵0≤θ≤90 ∴ ∴当t=1，即θ=45°时，S有最大值2，此时点G在的中点，矩形面积最大值为2．

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考点分析：

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由倍角公式cos2x=2cos²x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．对于cos3x，我们有
cos3x=cos（2x+x）
=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos²x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos³x-cosx-2（1-cos²x）cosx
=4cos³x-3cosx
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式P_n（t），使得cosnx=P_n（cosx），这些多项式P_n（t）称为切比雪夫多项式．
（I）求证：sin3x=3sinx-4sin³x；
（II）请求出P₄（t），即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；
（III）利用结论cos3x=4cos³x-3cosx，求出sin18°的值．

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