Question

已知点B（5，0）和点C（-5，0），过点B的直线l与过点C的直线m相交于点A，设直线l的斜率为k₁，直线m的斜率为k_2：
（Ⅰ）如果k₁•k₂=，求点A的轨迹方程；
（Ⅱ）如果k₁•k₂=a，其中a≠0，求点A的轨迹方程，并根据a的取值讨论此轨迹是何种曲线．

Answer

（Ⅰ）设点A（x，y），用x，y表示 k1和k2 ，利用 k1•k2=，建立关于x，y的方程．
（Ⅱ） 用x，y表示 k1和k2 ，k1•k2=a，建立关于x，y的方程并进行化简，讨论a的取值范围，确定轨迹所代表的曲线．
【解析】
（Ⅰ）设点A（x，y），则 k1=，k2=，由 k1•k2=，得 ，
即（y≠0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 k1=，k2=，代入 k1•k2=a可得；  ，即
（y≠0）．
①当a＞0，表示双曲线，去掉（5，0），（-5，0）两点．
②当-1＜a＜0，表示焦点在x轴上的椭圆．
③当 a=-1，表示圆．
④当a＜-1，表示焦点在y轴的椭圆．