Question

如图，底面ABC为正三角形，EA⊥面ABC，DC⊥面ABC，EA=AB=2DC=2a，设F为EB的中点．
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求直线AD与平面AEB所成角的正弦值．

Answer

（1）过F作FH∥EA交AB于H，连接HC，由已知中EA⊥面ABC，DC⊥面ABC，我们根据线面垂直的性质可得EA∥DC∥FH，进而得到四边形CDFH是平行四边形，则DF∥HC，再由线面平行的判定定理即可得到DF∥平面ABC；
（2）由△ABC为正三角形，H为AB中点，EA⊥面ABC，利用等边三角形的性质及线面垂直的性质可得CH⊥AB，CH⊥EA，再由线面垂直的判定定理可得CH⊥面EAB，结合DF∥CH，可得DF⊥面EAB，则∠DAF为直线AD与平面AEB所成角，解RT△AFD即可得到直线AD与平面AEB所成角的正弦值．
【解析】
（1）证明：（1）过F作FH∥EA交AB于H，连接HC，
∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，
∴EA∥DC，
又∵FH∥EA，
∴FH∥DC
而F是EB的中点，
∴
所以四边形CDFH是平行四边形，
∴DF∥HC，
又HC⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，
∴DF∥平面ABC．（6分）
（2）△ABC为正三角形，H为AB中点，
∴CH⊥AB，
∵EA⊥面ABC，CH⊂面ABC，
∴CH⊥EA，EA∩AB=A，EA，AB⊂面EAB，
∴CH⊥面EAB，
∵DF∥CH，
∴DF⊥面EAB，
∴AF为DA在面EAB上的射影，
所以∠DAF为直线AD与平面AEB所成角，（12分）
在RT△AFD中，，
所以直线AD与平面AEB所成角的正弦值为．（14分）