Question

已知函数f（x）=x³+ax²-（2a+3）x+a²（a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值点，求实数a的取值范围；
（2）若当x∈[-1，1]时，f（x）＞0，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先求出f′（x）=0的值，使其一个值在（1，+∞），建立不等关系，解之即可求出实数a的取值范围；
（2）原题等价于使x∈[-1，1]时，（f（x））min＞0恒成立，讨论a，再结合函数的单调性求出函数的最小值，使最小值恒大于0即可．
【解析】
（1）f'（x）=3x2+2ax-（2a+3）=（3x+2a+3）（x-1）
令f′（x）=0，得x=1，或，
使函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值点，
则，解得：a＜-3．  （6分）
（2）由题意知，即使x∈[-1，1]时，（f（x））min＞0．
①当，即a≤-3时，f（x）在x∈[-1，1]上单调递增，
∴（f（x））min=f（-1）=a2+3a+2＞0，得a＞-1或a＜-2，
由此得：a≤-3；
②当，即-3＜a＜0，f（x）在为增函数，在上为减函数，
所以（f（x））min=min{f（-1），f（1）}，
得或a＜-2
由此得-3＜a＜-2；
③当，即a≥0，f（x）在x∈[-1，1]上为减函数，所以（f（x））min=f（1）=a2-a-2＞0
得a＞2或a＜-1，由此得a＞2；
由①②③得实数a的取值范围为a＞2或a＜-2．（15分）