Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=18，数列{b_n}的前n项和为T_n，且．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和M_n；
（Ⅱ）求证数列{b_n}是等比数列，并求出其通项公式与前n项和T_n公式；
（III）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，由a2=6，a5=18，可求首项及公差，进而可求通项公式及前n项和
（Ⅱ）由，令n=1，可求．当n≥2时，由，可得，两式相减得．即，利用等比数列的通项公式及前n项和公式可求
（III）由（I）（II）可得，，故考虑利用错位相减求数列的和
【解析】
（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，
由a2=6，a5=18，
可得a1+d=6，a1+4d=18，
解得a1=2，d=4．
从而an=4n-2，Mn=2n2
（Ⅱ）由，
令n=1，则，可得．
当n≥2时，，，
两式相减得．
可得．
所以数列{bn}是等比数列．
可得，．…（8分）
（Ⅲ）由．
则．．
两式相减得．
整理得