Question

如图，在体积为1的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA₁=1，P为线段AB上的动点．
（1）求证：CA₁⊥C₁P；
（2）求CA₁与平面AB₁C₁所成的角的正弦值．

Answer

（1）由已知中侧棱AA1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA1=1，结合直三棱锥的性质及正方形的性质，可得AP⊥CA1，CA1⊥AC1，由线面垂直的判定定理可得CA1⊥平面AC1P，再由线面垂直的性质，可得CA1⊥C1P
（2）由已知中三棱柱ABC-A1B1C1体积为1，可得AB=2，以AA1，A1B1，A1C1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AB1C1的法向量和直线CA1的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到CA1与平面AB1C1所成的角的正弦值．
证明：（1）∵侧棱AA1⊥底面ABC
AA1⊥AB，又AC⊥AB，
∴AB⊥平面AA1C1C，即AP⊥平面AA1C1C，
∴AP⊥CA1，又AC=AA1=1，所以四边形AA1C1C是正方形，
∴CA1⊥AC1，从而CA1⊥平面AC1P，
又C1P⊂平面AC1P
∴CA1⊥C1P
【解析】
（2）因为三棱柱ABC-A1B1C1体积为1，即V=S△ABC×AA1=AB×1×1=1，
∴AB=2、
以AA1，A1B1，A1C1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则由题设条件得
A（1，0，0），B1（0，2，0），C1（0，0，1），C（1，0，1），
=（1，0，-1），=（1，-2，0），设平面AB1C1的法向量=（x，y，z），则
，
令x=1，则平面AB1C1的法向量=（1，，1），又=（1，0，-1），
所以cos＜•＞=，
即CA1与平面AB1C1所成的角的正弦值为